Partie B - Démonstration

Dans ce fichier de géométrie dynamique sont affichées :

• le courbe représentative de la fonction ,
• la sécante ,
• la tangente à la courbe représentative de la fonction  au point .

1. Déterminer le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de la fonction  \(C_T\) en \(a\) . Justifier que ce coefficient directeur correspond au coût marginal de production de \(a\) objets.

2. Déterminer le coefficient directeur de la droite \(\left(\text O\text M\right)\) en fonction de \(a\) . Justifier que ce coefficient directeur correspond au coût moyen de production de \(a\) objets.

3. Justifier que la fonction coût moyen admet un minimum en \(a=6\) et démontrer que la droite tangente à la courbe représentative de la fonction coût total et la sécante \((\text O\text M)\) sont confondues pour \(a=6.\)

Conclusion : l' abscisse du minimum de la fonction coût moyen correspond à l'abscisse  du point de tangence de \(\left(\text O\text M\right)\) à la courbe représentative de la fonction \(C_T\) .